حل x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 84 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 را بر x-2 برای به دست آوردن x^{3}-2x^{2}-29x-42 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -42 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-2x^{2}-29x-42 را بر x+2 برای به دست آوردن x^{2}-4x-21 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}-4x-21=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -4 را با b، و -21 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

معادله x^{2}-4x-21=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-3 x=7$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$