حل x^4-2x^2-1=0

$$x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } - 1 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=i\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx 0.643594253i$$

$$x=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx -0-0.643594253i$$

$$x=-\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx -1.553773974$$

$$x=\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx 1.553773974$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$t^{2}-2t-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -2 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

معادله t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\sqrt{2}+1 t=1-\sqrt{2}$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t به دست می‌آید.

$$x=-\sqrt{\sqrt{2}+1} x=\sqrt{\sqrt{2}+1} x=-i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)} x=i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)}$$

برای x حل کنید

$$x=-\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx -1.553773974$$

$$x=\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx 1.553773974$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$t^{2}-2t-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -2 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

معادله t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\sqrt{2}+1 t=1-\sqrt{2}$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t مثبت به دست می‌آید.

$$x=\sqrt{\sqrt{2}+1} x=-\sqrt{\sqrt{2}+1}$$