حل x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

برای A حل کنید (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right.$$

مراحل برای حل یک معادله خطی

از اموال توزیعی برای ضرب x^{2}+A در x^{2}-1 استفاده کنید.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

x^{4} و -x^{4} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Bx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

C را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

همه جمله‌های شامل A را ترکیب کنید.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

هر دو طرف بر x^{2}-1 تقسیم شوند.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

تقسیم بر x^{2}-1، ضرب در x^{2}-1 را لغو می‌کند.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

برای B حل کنید (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

مراحل برای حل یک معادله خطی

از اموال توزیعی برای ضرب x^{2}+A در x^{2}-1 استفاده کنید.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

x^{4} و -x^{4} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Ax^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

A را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

C را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

عبارت‌ها را دوباره مرتب کنید.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

هر دو طرف بر x تقسیم شوند.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

تقسیم بر x، ضرب در x را لغو می‌کند.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

برای A حل کنید

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

مراحل برای حل یک معادله خطی

از اموال توزیعی برای ضرب x^{2}+A در x^{2}-1 استفاده کنید.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

x^{4} و -x^{4} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Bx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

C را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

همه جمله‌های شامل A را ترکیب کنید.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

هر دو طرف بر x^{2}-1 تقسیم شوند.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

تقسیم بر x^{2}-1، ضرب در x^{2}-1 را لغو می‌کند.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

برای B حل کنید

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

مراحل برای حل یک معادله خطی

از اموال توزیعی برای ضرب x^{2}+A در x^{2}-1 استفاده کنید.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

x^{4} و -x^{4} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Ax^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

A را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

C را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

عبارت‌ها را دوباره مرتب کنید.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

هر دو طرف بر x تقسیم شوند.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

تقسیم بر x، ضرب در x را لغو می‌کند.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$