حل x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

عامل

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 40 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. یکی از این ریشه‌ها -5 است. با تقسیم این چندجمله‌ای به x+5، از آن فاکتور بگیرید.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

x^{3}+x^{2}-10x+8 را در نظر بگیرید. بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 8 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. یکی از این ریشه‌ها -4 است. با تقسیم این چندجمله‌ای به x+4، از آن فاکتور بگیرید.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

x^{2}-3x+2 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=-2 b=-1$$

x^{2}-3x+2 را به‌عنوان \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

ارزیابی

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$