حل x^3=512

$$x ^ { 3 } = 512$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=-4\sqrt{3}i-4\approx -4-6.92820323i$$

$$x=8$$

$$x=-4+4\sqrt{3}i\approx -4+6.92820323i$$

مراحل راه‌حل

512 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{3}-512=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -512 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=8$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-512 را بر x-8 برای به دست آوردن x^{2}+8x+64 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+8x+64=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 8 را با b، و 64 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

معادله x^{2}+8x+64=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=8 x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

برای x حل کنید

$$x=8$$

مراحل راه‌حل

512 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{3}-512=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -512 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=8$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}-512 را بر x-8 برای به دست آوردن x^{2}+8x+64 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$x^{2}+8x+64=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 8 را با b، و 64 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$x\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=8$$