حل x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

برای x حل کنید

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

برای حل نامعادله، سمت چپ را فاکتور بگیرید. چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$x^{2}-2x-5=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -2 را با b، و -5 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

معادله x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

با استفاده از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، نامعادله را بازنویسی کنید.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

برای منفی شدن حاصل، x-\left(\sqrt{6}+1\right) و x-\left(1-\sqrt{6}\right) باید دارای علامت‌های مخالف هم باشند. موردی را در نظر بگیرید که x-\left(\sqrt{6}+1\right) مثبت و x-\left(1-\sqrt{6}\right) منفی باشد.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

این برای هر x، غلط است.

$$x\in \emptyset$$

موردی را در نظر بگیرید که x-\left(1-\sqrt{6}\right) مثبت و x-\left(\sqrt{6}+1\right) منفی باشد.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right) است.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

راه حل نهایی اجتماع راه‌حل‌های به‌دست‌آمده است.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$