حل x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=6$$

$$x=7$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}-13x+42 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=42$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 42 است فهرست کنید.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=-7 b=-6$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-7=0 و x-6=0 را حل کنید.

$$x=7 x=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+42 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 42 است فهرست کنید.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=-7 b=-6$$

x^{2}-13x+42 را به‌عنوان \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-7=0 و x-6=0 را حل کنید.

$$x=7 x=6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}-13x+42=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -13 را با b و 42 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

-4 بار 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

169 را به -168 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

متضاد -13 عبارت است از 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{13±1}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 13 را به 1 اضافه کنید.

$$x=\frac{14}{2}$$

14 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=7$$

اکنون معادله x=\frac{13±1}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از 13 تفریق کنید.

$$x=\frac{12}{2}$$

12 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=7 x=6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}-13x+42=0$$

42 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

تفریق 42 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}-13x=-42$$

-13، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{13}{2} شود. سپس مجذور -\frac{13}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

-42 را به \frac{169}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

عامل x^{2}-13x+\frac{169}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

\frac{13}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=7 x=6$$