حل x^2-13x+30=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 30 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=3$$

$$x=10$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}-13x+30 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=-10 b=-3$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-10\right)\left(x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و x-3=0 را حل کنید.

$$x=10 x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+30 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=1\times 30=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=-10 b=-3$$

x^{2}-13x+30 را به‌عنوان \left(x^{2}-10x\right)+\left(-3x+30\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-10 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-10\right)\left(x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و x-3=0 را حل کنید.

$$x=10 x=3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}-13x+30=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -13 را با b و 30 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

-13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 30}}{2}$$

-4 بار 30.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-120}}{2}$$

169 را به -120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{49}}{2}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±7}{2}$$

متضاد -13 عبارت است از 13.

$$x=\frac{13±7}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{13±7}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 13 را به 7 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{2}$$

20 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=10$$

اکنون معادله x=\frac{13±7}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از 13 تفریق کنید.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=10 x=3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}-13x+30=0$$

30 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}-13x+30-30=-30$$

تفریق 30 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}-13x=-30$$

-13، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{13}{2} شود. سپس مجذور -\frac{13}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

-30 را به \frac{169}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

عامل x^{2}-13x+\frac{169}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

\frac{13}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=10 x=3$$