حل x^2-11x+24=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 24 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=3$$

$$x=8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}-11x+24 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=24$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 24 است فهرست کنید.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-8 b=-3$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-8=0 و x-3=0 را حل کنید.

$$x=8 x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=1\times 24=24$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 24 است فهرست کنید.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-8 b=-3$$

x^{2}-11x+24 را به‌عنوان \left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-8=0 و x-3=0 را حل کنید.

$$x=8 x=3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}-11x+24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -11 را با b و 24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

-11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

-4 بار 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2}$$

121 را به -96 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$x=\frac{11±5}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{11±5}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 5 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{2}$$

16 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=8$$

اکنون معادله x=\frac{11±5}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از 11 تفریق کنید.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=8 x=3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}-11x+24=0$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}-11x+24-24=-24$$

تفریق 24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}-11x=-24$$

-11، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{2} شود. سپس مجذور -\frac{11}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

-24 را به \frac{121}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

عامل x^{2}-11x+\frac{121}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

\frac{11}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=8 x=3$$