حل x^2+7x-78=42

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

برای x حل کنید

$$x=-15$$

$$x=8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

42 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

تفریق 42 را از -78 برای به دست آوردن -120 تفریق کنید.

$$x^{2}+7x-120=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+7x-120 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=-120$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -120 است فهرست کنید.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-8 b=15$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-8=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=8 x=-15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

42 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

تفریق 42 را از -78 برای به دست آوردن -120 تفریق کنید.

$$x^{2}+7x-120=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-120 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -120 است فهرست کنید.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-8 b=15$$

x^{2}+7x-120 را به‌عنوان \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-8=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=8 x=-15$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+7x-78=42$$

42 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

تفریق 42 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

42 را از -78 تفریق کنید.

$$x^{2}+7x-120=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 7 را با b و -120 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

-4 بار -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

49 را به 480 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

ریشه دوم 529 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±23}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 23 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{2}$$

16 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=8$$

اکنون معادله x=\frac{-7±23}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 23 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=8 x=-15$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+7x-78=42$$

78 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

تفریق -78 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

-78 را از 42 تفریق کنید.

$$x^{2}+7x=120$$

7، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{2} شود. سپس مجذور \frac{7}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

\frac{7}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

120 را به \frac{49}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

عامل x^{2}+7x+\frac{49}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

\frac{7}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=8 x=-15$$