حل x^2+54x=-504

$$x ^ { 2 } + 54 x = - 504$$

برای x حل کنید

$$x=-42$$

$$x=-12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

504 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+54x+504=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+54x+504 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=54 ab=504$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 504 است فهرست کنید.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

جواب زوجی است که مجموع آن 54 است.

$$a=12 b=42$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x+12\right)\left(x+42\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+12=0 و x+42=0 را حل کنید.

$$x=-12 x=-42$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

504 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+54x+504=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+504 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=54 ab=1\times 504=504$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 504 است فهرست کنید.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

جواب زوجی است که مجموع آن 54 است.

$$a=12 b=42$$

x^{2}+54x+504 را به‌عنوان \left(x^{2}+12x\right)+\left(42x+504\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}+12x\right)+\left(42x+504\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 42 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x+12\right)+42\left(x+12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+12\right)\left(x+42\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+12=0 و x+42=0 را حل کنید.

$$x=-12 x=-42$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+54x=-504$$

504 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+54x-\left(-504\right)=-504-\left(-504\right)$$

تفریق -504 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+54x-\left(-504\right)=0$$

-504 را از 0 تفریق کنید.

$$x^{2}+54x+504=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 54 را با b و 504 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\times 504}}{2}$$

54 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\times 504}}{2}$$

-4 بار 504.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-2016}}{2}$$

2916 را به -2016 اضافه کنید.

$$x=\frac{-54±\sqrt{900}}{2}$$

ریشه دوم 900 را به دست آورید.

$$x=\frac{-54±30}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-54±30}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -54 را به 30 اضافه کنید.

$$x=-\frac{24}{2}$$

-24 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-12$$

اکنون معادله x=\frac{-54±30}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 30 را از -54 تفریق کنید.

$$x=-\frac{84}{2}$$

-84 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-42$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-12 x=-42$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+54x=-504$$

54، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 27 شود. سپس مجذور 27 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+54x+27^{2}=-504+27^{2}$$

27 را مجذور کنید.

$$x^{2}+54x+729=-504+729$$

-504 را به 729 اضافه کنید.

$$x^{2}+54x+729=225$$

عامل x^{2}+54x+729. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+27\right)^{2}=225$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+27\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

ساده کنید.

$$x+27=15 x+27=-15$$

27 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-12 x=-42$$