حل x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

برای x حل کنید

$$x=-21$$

$$x=-4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

84 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+25x+84=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+25x+84 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=25 ab=84$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 84 است فهرست کنید.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

جواب زوجی است که مجموع آن 25 است.

$$a=4 b=21$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+4=0 و x+21=0 را حل کنید.

$$x=-4 x=-21$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

84 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+25x+84=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+84 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 84 است فهرست کنید.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

جواب زوجی است که مجموع آن 25 است.

$$a=4 b=21$$

x^{2}+25x+84 را به‌عنوان \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 21 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+4=0 و x+21=0 را حل کنید.

$$x=-4 x=-21$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+25x=-84$$

84 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

تفریق -84 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

-84 را از 0 تفریق کنید.

$$x^{2}+25x+84=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 25 را با b و 84 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

25 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

-4 بار 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

625 را به -336 اضافه کنید.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-25±17}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -25 را به 17 اضافه کنید.

$$x=-\frac{8}{2}$$

-8 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

اکنون معادله x=\frac{-25±17}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از -25 تفریق کنید.

$$x=-\frac{42}{2}$$

-42 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-21$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-4 x=-21$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+25x=-84$$

25، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{25}{2} شود. سپس مجذور \frac{25}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

\frac{25}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

-84 را به \frac{625}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

عامل x^{2}+25x+\frac{625}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

\frac{25}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-4 x=-21$$