حل x^2+20x=-75

$$x ^ { 2 } + 20 x = - 75$$

برای x حل کنید

$$x=-15$$

$$x=-5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

75 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+20x+75=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+20x+75 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=20 ab=75$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 75 است فهرست کنید.

$$1,75 3,25 5,15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

جواب زوجی است که مجموع آن 20 است.

$$a=5 b=15$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+5=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=-5 x=-15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

75 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+20x+75=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+75 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 75 است فهرست کنید.

$$1,75 3,25 5,15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

جواب زوجی است که مجموع آن 20 است.

$$a=5 b=15$$

x^{2}+20x+75 را به‌عنوان \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+5=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=-5 x=-15$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+20x=-75$$

75 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=-75-\left(-75\right)$$

تفریق -75 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=0$$

-75 را از 0 تفریق کنید.

$$x^{2}+20x+75=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 20 را با b و 75 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

20 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

-4 بار 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

400 را به -300 اضافه کنید.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

ریشه دوم 100 را به دست آورید.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-20±10}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -20 را به 10 اضافه کنید.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-5$$

اکنون معادله x=\frac{-20±10}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 10 را از -20 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-5 x=-15$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+20x=-75$$

20، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 10 شود. سپس مجذور 10 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

10 را مجذور کنید.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

-75 را به 100 اضافه کنید.

$$x^{2}+20x+100=25$$

عامل x^{2}+20x+100. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

ساده کنید.

$$x+10=5 x+10=-5$$

10 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-5 x=-15$$