حل x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-32$$

$$x=16$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+16x-512 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=16 ab=-512$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -512 است فهرست کنید.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

جواب زوجی است که مجموع آن 16 است.

$$a=-16 b=32$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-16=0 و x+32=0 را حل کنید.

$$x=16 x=-32$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-512 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -512 است فهرست کنید.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

جواب زوجی است که مجموع آن 16 است.

$$a=-16 b=32$$

x^{2}+16x-512 را به‌عنوان \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 32 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-16 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-16=0 و x+32=0 را حل کنید.

$$x=16 x=-32$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+16x-512=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 16 را با b و -512 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

16 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

-4 بار -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

256 را به 2048 اضافه کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

ریشه دوم 2304 را به دست آورید.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-16±48}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -16 را به 48 اضافه کنید.

$$x=\frac{32}{2}$$

32 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=16$$

اکنون معادله x=\frac{-16±48}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 48 را از -16 تفریق کنید.

$$x=-\frac{64}{2}$$

-64 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-32$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=16 x=-32$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+16x-512=0$$

512 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

تفریق -512 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

-512 را از 0 تفریق کنید.

$$x^{2}+16x=512$$

16، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 8 شود. سپس مجذور 8 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

8 را مجذور کنید.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

512 را به 64 اضافه کنید.

$$x^{2}+16x+64=576$$

عامل x^{2}+16x+64. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

ساده کنید.

$$x+8=24 x+8=-24$$

8 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=16 x=-32$$