حل x^2+13x-30=0

$$x ^ { 2 } + 13 x - 30 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-15$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+13x-30 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=-2 b=15$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-30 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=1\left(-30\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=-2 b=15$$

x^{2}+13x-30 را به‌عنوان \left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-15$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+13x-30=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 13 را با b و -30 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-30\right)}}{2}$$

-4 بار -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2}$$

169 را به 120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$x=\frac{-13±17}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±17}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -13 را به 17 اضافه کنید.

$$x=\frac{4}{2}$$

4 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{-13±17}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از -13 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=-15$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+13x-30=0$$

30 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

تفریق -30 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+13x=-\left(-30\right)$$

-30 را از 0 تفریق کنید.

$$x^{2}+13x=30$$

13، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{13}{2} شود. سپس مجذور \frac{13}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

\frac{13}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=30+\frac{169}{4}$$

30 را به \frac{169}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{289}{4}$$

عامل x^{2}+13x+\frac{169}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{17}{2}$$

\frac{13}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=2 x=-15$$