حل x^2+13x+30=0

$$x ^ { 2 } + 13 x + 30 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-10$$

$$x=-3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+13x+30 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=3 b=10$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+3=0 و x+10=0 را حل کنید.

$$x=-3 x=-10$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+30 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=13 ab=1\times 30=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

جواب زوجی است که مجموع آن 13 است.

$$a=3 b=10$$

x^{2}+13x+30 را به‌عنوان \left(x^{2}+3x\right)+\left(10x+30\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(10x+30\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 10 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x+3\right)+10\left(x+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+3=0 و x+10=0 را حل کنید.

$$x=-3 x=-10$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+13x+30=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 13 را با b و 30 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 30}}{2}$$

13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 30}}{2}$$

-4 بار 30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2}$$

169 را به -120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-13±7}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-13±7}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -13 را به 7 اضافه کنید.

$$x=-\frac{6}{2}$$

-6 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

اکنون معادله x=\frac{-13±7}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از -13 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{2}$$

-20 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-10$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-3 x=-10$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+13x+30=0$$

30 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}+13x+30-30=-30$$

تفریق 30 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+13x=-30$$

13، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{13}{2} شود. سپس مجذور \frac{13}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

\frac{13}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

-30 را به \frac{169}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

عامل x^{2}+13x+\frac{169}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

\frac{13}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-3 x=-10$$