حل x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

برای x حل کنید

$$x=-5$$

$$x=5$$

مراحل راه‌حل

x^{2}+11 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}+11، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

تفریق 11 را از 42 برای به دست آوردن 31 تفریق کنید.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}+11} را به توان 2 محاسبه کنید و x^{2}+11 را به دست آورید.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(31-x^{2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

961 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

تفریق 961 را از 11 برای به دست آوردن -950 تفریق کنید.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

62x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

x^{2} و 62x^{2} را برای به دست آوردن 63x^{2} ترکیب کنید.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم -1 را با a، 63 را با b، و -950 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

معادله t=\frac{-63±13}{-2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=25 t=38$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t به دست می‌آید.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

5 به جای x در معادله x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 جایگزین شود.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

ساده کنید. مقدار x=5 معادله را برآورده می کند.

$$42=42$$

-5 به جای x در معادله x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 جایگزین شود.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

ساده کنید. مقدار x=-5 معادله را برآورده می کند.

$$42=42$$

\sqrt{38} به جای x در معادله x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 جایگزین شود.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

ساده کنید. مقدار x=\sqrt{38} معادله را برآورده نمی کند.

$$56=42$$

-\sqrt{38} به جای x در معادله x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 جایگزین شود.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

ساده کنید. مقدار x=-\sqrt{38} معادله را برآورده نمی کند.

$$56=42$$

تمام راه حل‌های \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2} را لیست کنید.

$$x=5 x=-5$$