حل x^2+100x-7500=0

$$x ^ { 2 } + 100 x - 7500 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-150$$

$$x=50$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+100x-7500 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=100 ab=-7500$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -7500 است فهرست کنید.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

جواب زوجی است که مجموع آن 100 است.

$$a=-50 b=150$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-50=0 و x+150=0 را حل کنید.

$$x=50 x=-150$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-7500 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=100 ab=1\left(-7500\right)=-7500$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -7500 است فهرست کنید.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

جواب زوجی است که مجموع آن 100 است.

$$a=-50 b=150$$

x^{2}+100x-7500 را به‌عنوان \left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 150 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-50\right)+150\left(x-50\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-50 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-50=0 و x+150=0 را حل کنید.

$$x=50 x=-150$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 100 را با b و -7500 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-7500\right)}}{2}$$

100 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-7500\right)}}{2}$$

-4 بار -7500.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+30000}}{2}$$

10000 را به 30000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-100±\sqrt{40000}}{2}$$

ریشه دوم 40000 را به دست آورید.

$$x=\frac{-100±200}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-100±200}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -100 را به 200 اضافه کنید.

$$x=\frac{100}{2}$$

100 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=50$$

اکنون معادله x=\frac{-100±200}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 200 را از -100 تفریق کنید.

$$x=-\frac{300}{2}$$

-300 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-150$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=50 x=-150$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

7500 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x^{2}+100x-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

تفریق -7500 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+100x=-\left(-7500\right)$$

-7500 را از 0 تفریق کنید.

$$x^{2}+100x=7500$$

100، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 50 شود. سپس مجذور 50 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+100x+50^{2}=7500+50^{2}$$

50 را مجذور کنید.

$$x^{2}+100x+2500=7500+2500$$

7500 را به 2500 اضافه کنید.

$$x^{2}+100x+2500=10000$$

عامل x^{2}+100x+2500. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+50\right)^{2}=10000$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+50\right)^{2}}=\sqrt{10000}$$

ساده کنید.

$$x+50=100 x+50=-100$$

50 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=50 x=-150$$