حل t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

برای t حل کنید

$$t=-6$$

$$t=30$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) از t^{2}-24t-180 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-24 ab=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -24 است.

$$a=-30 b=6$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(t+a\right)\left(t+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، t-30=0 و t+6=0 را حل کنید.

$$t=30 t=-6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت t^{2}+at+bt-180 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -180 است فهرست کنید.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -24 است.

$$a=-30 b=6$$

t^{2}-24t-180 را به‌عنوان \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right) بازنویسی کنید.

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

در گروه اول از t و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک t-30 فاکتور بگیرید.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، t-30=0 و t+6=0 را حل کنید.

$$t=30 t=-6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$t^{2}-24t-180=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -24 را با b و -180 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

-24 را مجذور کنید.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 بار -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

576 را به 720 اضافه کنید.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

ریشه دوم 1296 را به دست آورید.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

متضاد -24 عبارت است از 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

اکنون معادله t=\frac{24±36}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 24 را به 36 اضافه کنید.

$$t=\frac{60}{2}$$

60 را بر 2 تقسیم کنید.

$$t=30$$

اکنون معادله t=\frac{24±36}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 36 را از 24 تفریق کنید.

$$t=-\frac{12}{2}$$

-12 را بر 2 تقسیم کنید.

$$t=-6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$t=30 t=-6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$t^{2}-24t-180=0$$

180 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

تفریق -180 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

-180 را از 0 تفریق کنید.

$$t^{2}-24t=180$$

-24، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -12 شود. سپس مجذور -12 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

-12 را مجذور کنید.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

180 را به 144 اضافه کنید.

$$t^{2}-24t+144=324$$

عامل t^{2}-24t+144. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

ساده کنید.

$$t-12=18 t-12=-18$$

12 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$t=30 t=-6$$