حل t^2+5t-24=0

$$t ^ { 2 } + 5 t - 24 = 0$$

برای t حل کنید

$$t=-8$$

$$t=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) از t^{2}+5t-24 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=-24$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -24 است فهرست کنید.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-3 b=8$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(t+a\right)\left(t+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، t-3=0 و t+8=0 را حل کنید.

$$t=3 t=-8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت t^{2}+at+bt-24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -24 است فهرست کنید.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-3 b=8$$

t^{2}+5t-24 را به‌عنوان \left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right)$$

در گروه اول از t و در گروه دوم از 8 فاکتور بگیرید.

$$t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک t-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، t-3=0 و t+8=0 را حل کنید.

$$t=3 t=-8$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$t^{2}+5t-24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 5 را با b و -24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

5 را مجذور کنید.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

-4 بار -24.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

25 را به 96 اضافه کنید.

$$t=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$t=\frac{-5±11}{2}$$

اکنون معادله t=\frac{-5±11}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 11 اضافه کنید.

$$t=\frac{6}{2}$$

6 را بر 2 تقسیم کنید.

$$t=3$$

اکنون معادله t=\frac{-5±11}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -5 تفریق کنید.

$$t=-\frac{16}{2}$$

-16 را بر 2 تقسیم کنید.

$$t=-8$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$t=3 t=-8$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$t^{2}+5t-24=0$$

24 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$t^{2}+5t-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

تفریق -24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$t^{2}+5t=-\left(-24\right)$$

-24 را از 0 تفریق کنید.

$$t^{2}+5t=24$$

5، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{2} شود. سپس مجذور \frac{5}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$t^{2}+5t+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

\frac{5}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

24 را به \frac{25}{4} اضافه کنید.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

عامل t^{2}+5t+\frac{25}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ساده کنید.

$$t+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} t+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{5}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$t=3 t=-8$$