حل r^2+5r-36=0

$$r ^ { 2 } + 5 r - 36 = 0$$

برای r حل کنید

$$r=-9$$

$$r=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right) از r^{2}+5r-36 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-4 b=9$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(r+a\right)\left(r+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(r-4\right)\left(r+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، r-4=0 و r+9=0 را حل کنید.

$$r=4 r=-9$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت r^{2}+ar+br-36 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-4 b=9$$

r^{2}+5r-36 را به‌عنوان \left(r^{2}-4r\right)+\left(9r-36\right) بازنویسی کنید.

$$\left(r^{2}-4r\right)+\left(9r-36\right)$$

در گروه اول از r و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$r\left(r-4\right)+9\left(r-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک r-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(r-4\right)\left(r+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، r-4=0 و r+9=0 را حل کنید.

$$r=4 r=-9$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$r^{2}+5r-36=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 5 را با b و -36 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-36\right)}}{2}$$

5 را مجذور کنید.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-36\right)}}{2}$$

-4 بار -36.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2}$$

25 را به 144 اضافه کنید.

$$r=\frac{-5±\sqrt{169}}{2}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$r=\frac{-5±13}{2}$$

اکنون معادله r=\frac{-5±13}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 13 اضافه کنید.

$$r=\frac{8}{2}$$

8 را بر 2 تقسیم کنید.

$$r=4$$

اکنون معادله r=\frac{-5±13}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -5 تفریق کنید.

$$r=-\frac{18}{2}$$

-18 را بر 2 تقسیم کنید.

$$r=-9$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=4 r=-9$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$r^{2}+5r-36=0$$

36 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$r^{2}+5r-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

تفریق -36 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$r^{2}+5r=-\left(-36\right)$$

-36 را از 0 تفریق کنید.

$$r^{2}+5r=36$$

5، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{2} شود. سپس مجذور \frac{5}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}+5r+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

\frac{5}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$r^{2}+5r+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

36 را به \frac{25}{4} اضافه کنید.

$$r^{2}+5r+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

عامل r^{2}+5r+\frac{25}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ساده کنید.

$$r+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} r+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

\frac{5}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$r=4 r=-9$$