حل n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

برای n حل کنید

$$n=-15$$

$$n=16$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

240 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$n^{2}-n-240=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) از n^{2}-n-240 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=-240$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -240 است فهرست کنید.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-16 b=15$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(n+a\right)\left(n+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-16=0 و n+15=0 را حل کنید.

$$n=16 n=-15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

240 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$n^{2}-n-240=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت n^{2}+an+bn-240 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -240 است فهرست کنید.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-16 b=15$$

n^{2}-n-240 را به‌عنوان \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right) بازنویسی کنید.

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

در گروه اول از n و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-16 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-16=0 و n+15=0 را حل کنید.

$$n=16 n=-15$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$n^{2}-n=240$$

240 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

تفریق 240 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$n^{2}-n-240=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -1 را با b و -240 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

-4 بار -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

1 را به 960 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

ریشه دوم 961 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

اکنون معادله n=\frac{1±31}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 31 اضافه کنید.

$$n=\frac{32}{2}$$

32 را بر 2 تقسیم کنید.

$$n=16$$

اکنون معادله n=\frac{1±31}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 31 را از 1 تفریق کنید.

$$n=-\frac{30}{2}$$

-30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$n=-15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=16 n=-15$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$n^{2}-n=240$$

-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

240 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

عامل n^{2}-n+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

\frac{1}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=16 n=-15$$