حل n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

برای n حل کنید

$$n=-4$$

$$n=15$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) از n^{2}-11n-60 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-15 b=4$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(n+a\right)\left(n+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-15=0 و n+4=0 را حل کنید.

$$n=15 n=-4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت n^{2}+an+bn-60 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 را به‌عنوان \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) بازنویسی کنید.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

در گروه اول از n و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-15 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-15=0 و n+4=0 را حل کنید.

$$n=15 n=-4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$n^{2}-11n-60=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -11 را با b و -60 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 بار -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121 را به 240 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

ریشه دوم 361 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

اکنون معادله n=\frac{11±19}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 19 اضافه کنید.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 را بر 2 تقسیم کنید.

$$n=15$$

اکنون معادله n=\frac{11±19}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 19 را از 11 تفریق کنید.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 را بر 2 تقسیم کنید.

$$n=-4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=15 n=-4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$n^{2}-11n-60=0$$

60 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

تفریق -60 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

-60 را از 0 تفریق کنید.

$$n^{2}-11n=60$$

-11، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{2} شود. سپس مجذور -\frac{11}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60 را به \frac{121}{4} اضافه کنید.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

عامل n^{2}-11n+\frac{121}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

\frac{11}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=15 n=-4$$