حل f(x)=5x^4+2x^2-7

$$f ( x ) = 5 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } - 7$$

عامل

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(5x^{2}+7\right)$$

مراحل راه‌حل

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$5x^{4}+2x^{2}-7=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -7 و q به عامل پیشگام 5 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{7}{5},±7,±\frac{1}{5},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 5x^{4}+2x^{2}-7 را بر x-1 برای به دست آوردن 5x^{3}+5x^{2}+7x+7 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$5x^{3}+5x^{2}+7x+7=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 7 و q به عامل پیشگام 5 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{7}{5},±7,±\frac{1}{5},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 5x^{3}+5x^{2}+7x+7 را بر x+1 برای به دست آوردن 5x^{2}+7 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$5x^{2}+7=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 5 را با a، 0 را با b، و 7 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-140}}{10}$$

از چندجمله‌ای 5x^{2}+7 فاکتور گرفته نشده زیرا هیچ ریشه گویایی ندارد.

$$5x^{2}+7$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(5x^{2}+7\right)$$

ارزیابی

$$5x^{4}+2x^{2}-7$$