حل f(x)=-x^3+3x^2+13x-15

$$f ( x ) = - x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 13 x - 15$$

عامل

$$\left(1-x\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -15 و q به عامل پیشگام -1 تقسیم می‌شود. یکی از این ریشه‌ها 5 است. با تقسیم این چندجمله‌ای به x-5، از آن فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(-x^{2}-2x+3\right)$$

-x^{2}-2x+3 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx+3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=1 b=-3$$

-x^{2}-2x+3 را به‌عنوان \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

ارزیابی

$$\left(1-x\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$