حل f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

ارزیابی

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

چون \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int t^{2}\mathrm{d}t را با \frac{t^{3}}{3}جایگزین کنید.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

چون \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int t\mathrm{d}t را با \frac{t^{2}}{2}جایگزین کنید. -1 بار \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

ساده کنید.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$