حل a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

عامل

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

مراحل راه‌حل

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -32 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 را بر a-2 برای به دست آوردن a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 16 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 را بر a-2 برای به دست آوردن a^{3}-2a^{2}+4a-8 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -8 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{3}-2a^{2}+4a-8 را بر a-2 برای به دست آوردن a^{2}+4 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{2}+4=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 0 را با b، و 4 را با c جایگزین کنید.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

از چندجمله‌ای a^{2}+4 فاکتور گرفته نشده زیرا هیچ ریشه گویایی ندارد.

$$a^{2}+4$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

ارزیابی

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$