حل a^4-20a^2+64

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

عامل

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

مراحل راه‌حل

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 64 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{4}-20a^{2}+64 را بر a-2 برای به دست آوردن a^{3}+2a^{2}-16a-32 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -32 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=-2$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{3}+2a^{2}-16a-32 را بر a+2 برای به دست آوردن a^{2}-16 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$a^{2}-16=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 0 را با b، و -16 را با c جایگزین کنید.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

معادله a^{2}-16=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$a=-4 a=4$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

ارزیابی

$$a^{4}-20a^{2}+64$$