حل a^3+5a^2-18a-72=0

$$a ^ { 3 } + 5 a ^ { 2 } - 18 a - 72 = 0$$

برای a حل کنید

$$a=-3$$

$$a=4$$

$$a=-6$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -72 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=-3$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{3}+5a^{2}-18a-72 را بر a+3 برای به دست آوردن a^{2}+2a-24 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$a^{2}+2a-24=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 2 را با b، و -24 را با c جایگزین کنید.

$$a=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\left(-24\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$a=\frac{-2±10}{2}$$

معادله a^{2}+2a-24=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$a=-6 a=4$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$a=-3 a=-6 a=4$$