حل a^2+a^3=392

$$a ^ { 2 } + a ^ { 3 } = 392$$

برای a حل کنید

$$a=7$$

مراحل راه‌حل

392 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$a^{2}+a^{3}-392=0$$

معادله را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$a^{3}+a^{2}-392=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -392 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±392,±196,±98,±56,±49,±28,±14,±8,±7,±4,±2,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$a=7$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، a-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. a^{3}+a^{2}-392 را بر a-7 برای به دست آوردن a^{2}+8a+56 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$a^{2}+8a+56=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 8 را با b، و 56 را با c جایگزین کنید.

$$a=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 56}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$a=\frac{-8±\sqrt{-160}}{2}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$a\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$a=7$$