حل 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

عامل

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

مراحل راه‌حل

3 را فاکتور بگیرید.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

3y^{2}+25y-18 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 3y^{2}+ay+by-18 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -54 است فهرست کنید.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 25 است.

$$a=-2 b=27$$

3y^{2}+25y-18 را به‌عنوان \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3y-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

75 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

-36 بار -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

5625 را به 1944 اضافه کنید.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 7569 را به دست آورید.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

اکنون معادله y=\frac{-75±87}{18} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -75 را به 87 اضافه کنید.

$$y=\frac{12}{18}$$

کسر \frac{12}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=\frac{2}{3}$$

اکنون معادله y=\frac{-75±87}{18} وقتی که ± منفی است حل کنید. 87 را از -75 تفریق کنید.

$$y=-\frac{162}{18}$$

-162 را بر 18 تقسیم کنید.

$$y=-9$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{2}{3} را برای x_{1} و -9 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{2}{3} را از y تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از3 در 9 و 3 کم کنید.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

ارزیابی

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$