حل 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 9x^{2}+ax+bx+25 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 225 است فهرست کنید.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

جواب زوجی است که مجموع آن 30 است.

$$a=15 b=15$$

9x^{2}+30x+25 را به‌عنوان \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right) بازنویسی کنید.

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+5 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، 3x+5=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{5}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9 را با a، 30 را با b و 25 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

30 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

-36 بار 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

900 را به -900 اضافه کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

کسر \frac{-30}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

25 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

تفریق 25 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$9x^{2}+30x=-25$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

تقسیم بر 9، ضرب در 9 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

کسر \frac{30}{9} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

\frac{10}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{3} شود. سپس مجذور \frac{5}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

\frac{5}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{25}{9} را به \frac{25}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

عامل x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

\frac{5}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$x=-\frac{5}{3}$$