حل 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

برای t حل کنید

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 9t^{2}+at+bt+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 9 است فهرست کنید.

$$1,9 3,3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+9=10 3+3=6$$

جواب زوجی است که مجموع آن 6 است.

$$a=3 b=3$$

9t^{2}+6t+1 را به‌عنوان \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

از 3t در 9t^{2}+3t فاکتور بگیرید.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3t+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، 3t+1=0 را حل کنید.

$$t=-\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9 را با a، 6 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

6 را مجذور کنید.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

36 را به -36 اضافه کنید.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

کسر \frac{-6}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$t=-\frac{1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$9t^{2}+6t=-1$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

تقسیم بر 9، ضرب در 9 را لغو می‌کند.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

کسر \frac{6}{9} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

\frac{2}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{3} شود. سپس مجذور \frac{1}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

\frac{1}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{9} را به \frac{1}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

عامل t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

\frac{1}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$t=-\frac{1}{3}$$