حل 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

برای n حل کنید

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

3n^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} و -3n^{2} را برای به دست آوردن 6n^{2} ترکیب کنید.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6n^{2}+an+bn+20 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 120 است فهرست کنید.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

جواب زوجی است که مجموع آن -23 است.

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 را به‌عنوان \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

در گروه اول از 3n و در گروه دوم از -4 فاکتور بگیرید.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2n-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2n-5=0 و 3n-4=0 را حل کنید.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

3n^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} و -3n^{2} را برای به دست آوردن 6n^{2} ترکیب کنید.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -23 را با b و 20 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 بار 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529 را به -480 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

متضاد -23 عبارت است از 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

اکنون معادله n=\frac{23±7}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 23 را به 7 اضافه کنید.

$$n=\frac{30}{12}$$

کسر \frac{30}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=\frac{5}{2}$$

اکنون معادله n=\frac{23±7}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از 23 تفریق کنید.

$$n=\frac{16}{12}$$

کسر \frac{16}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

3n^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} و -3n^{2} را برای به دست آوردن 6n^{2} ترکیب کنید.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

20 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$6n^{2}-23n=-20$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

کسر \frac{-20}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{23}{12} شود. سپس مجذور -\frac{23}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

-\frac{23}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{10}{3} را به \frac{529}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

عامل n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

\frac{23}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$