حل 9a^2+66a+21

$$9 a ^ { 2 } + 66 a + 21$$

عامل

$$3\left(a+7\right)\left(3a+1\right)$$

مراحل راه‌حل

3 را فاکتور بگیرید.

$$3\left(3a^{2}+22a+7\right)$$

3a^{2}+22a+7 را در نظر بگیرید. با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 3a^{2}+pa+qa+7 بازنویسی شود. برای یافتن p و q، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$p+q=22 pq=3\times 7=21$$

از آنجا که pq مثبت است، p و q هم علامت هستند. از آنجا که p+q مثبت است، p و q هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 21 است فهرست کنید.

$$1,21 3,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+21=22 3+7=10$$

جواب زوجی است که مجموع آن 22 است.

$$p=1 q=21$$

3a^{2}+22a+7 را به‌عنوان \left(3a^{2}+a\right)+\left(21a+7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3a^{2}+a\right)+\left(21a+7\right)$$

در گروه اول از a و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$a\left(3a+1\right)+7\left(3a+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3a+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3a+1\right)\left(a+7\right)$$

عبارت فاکتورگیری‌شده کامل را بازنویسی کنید.

$$3\left(3a+1\right)\left(a+7\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$9a^{2}+66a+21=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$a=\frac{-66±\sqrt{66^{2}-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

66 را مجذور کنید.

$$a=\frac{-66±\sqrt{4356-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$a=\frac{-66±\sqrt{4356-36\times 21}}{2\times 9}$$

-36 بار 21.

$$a=\frac{-66±\sqrt{4356-756}}{2\times 9}$$

4356 را به -756 اضافه کنید.

$$a=\frac{-66±\sqrt{3600}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 3600 را به دست آورید.

$$a=\frac{-66±60}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$a=\frac{-66±60}{18}$$

اکنون معادله a=\frac{-66±60}{18} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -66 را به 60 اضافه کنید.

$$a=-\frac{6}{18}$$

کسر \frac{-6}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$a=-\frac{1}{3}$$

اکنون معادله a=\frac{-66±60}{18} وقتی که ± منفی است حل کنید. 60 را از -66 تفریق کنید.

$$a=-\frac{126}{18}$$

-126 را بر 18 تقسیم کنید.

$$a=-7$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{1}{3} را برای x_{1} و -7 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$9a^{2}+66a+21=9\left(a-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(a-\left(-7\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$9a^{2}+66a+21=9\left(a+\frac{1}{3}\right)\left(a+7\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{3} را به a اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$9a^{2}+66a+21=9\times \frac{3a+1}{3}\left(a+7\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از3 در 9 و 3 کم کنید.

$$9a^{2}+66a+21=3\left(3a+1\right)\left(a+7\right)$$

ارزیابی

$$3\left(a+7\right)\left(3a+1\right)$$