حل 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

برای a حل کنید

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 9a^{2}+aa+ba+16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 144 است فهرست کنید.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

جواب زوجی است که مجموع آن 24 است.

$$a=12 b=12$$

9a^{2}+24a+16 را به‌عنوان \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

در گروه اول از 3a و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3a+4 فاکتور بگیرید.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، 3a+4=0 را حل کنید.

$$a=-\frac{4}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9 را با a، 24 را با b و 16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

24 را مجذور کنید.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

-36 بار 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

576 را به -576 اضافه کنید.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

کسر \frac{-24}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$a=-\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

16 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

تفریق 16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$9a^{2}+24a=-16$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

تقسیم بر 9، ضرب در 9 را لغو می‌کند.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

کسر \frac{24}{9} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

\frac{8}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{4}{3} شود. سپس مجذور \frac{4}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{16}{9} را به \frac{16}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

عامل a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

\frac{4}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$a=-\frac{4}{3}$$