حل 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

عامل

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 81x^{2}+ax+bx+100 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 8100 است فهرست کنید.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

جواب زوجی است که مجموع آن 180 است.

$$a=90 b=90$$

81x^{2}+180x+100 را به‌عنوان \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right) بازنویسی کنید.

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

در گروه اول از 9x و در گروه دوم از 10 فاکتور بگیرید.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 9x+10 فاکتور بگیرید.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

مراحل استفاده از مربع دوجمله‌ای

این معادله سه جمله‌ای دارای یک شکل از مجذور سه جمله است که شاید در یک مضروب مشترک ضرب شده است. مجذورهای سه جمله‌ای را می‌توان با یافتن ریشه‌های دوم عبارت‌های اول و آخر، فاکتورگیری کرد.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

بزرگ‌ترین مضروب مشترک ضرايب را پیدا کنید.

$$gcf(81,180,100)=1$$

ریشه دوم جمله ابتدایی 81x^{2} را پیدا کنید.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

ریشه دوم جمله انتهایی 100 را پیدا کنید.

$$\sqrt{100}=10$$

مجذور سه جمله‌ای برابر با مجذور دو جمله‌ای است که مجموع یا تفاضل ریشه‌های دوم عبارت‌های ابتدایی و انتهایی است و در آن علامت توسط علامت عبارت میانی مجذور سه جمله‌ای تعیین می‌شود.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

180 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

-4 بار 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

-324 بار 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

32400 را به -32400 اضافه کنید.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

2 بار 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{10}{9} را برای x_{1} و -\frac{10}{9} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{10}{9} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{10}{9} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{9x+10}{9} را در \frac{9x+10}{9} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

9 بار 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

بزرگترین مضروب مشترک را از 81 در 81 و 81 کم کنید.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

ارزیابی

$$\left(9x+10\right)^{2}$$