حل 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

عامل

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 81n^{2}+an+bn+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 81 است فهرست کنید.

$$1,81 3,27 9,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

جواب زوجی است که مجموع آن 18 است.

$$a=9 b=9$$

81n^{2}+18n+1 را به‌عنوان \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

از 9n در 81n^{2}+9n فاکتور بگیرید.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 9n+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

مراحل استفاده از مربع دوجمله‌ای

این معادله سه جمله‌ای دارای یک شکل از مجذور سه جمله است که شاید در یک مضروب مشترک ضرب شده است. مجذورهای سه جمله‌ای را می‌توان با یافتن ریشه‌های دوم عبارت‌های اول و آخر، فاکتورگیری کرد.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

بزرگ‌ترین مضروب مشترک ضرايب را پیدا کنید.

$$gcf(81,18,1)=1$$

ریشه دوم جمله ابتدایی 81n^{2} را پیدا کنید.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

مجذور سه جمله‌ای برابر با مجذور دو جمله‌ای است که مجموع یا تفاضل ریشه‌های دوم عبارت‌های ابتدایی و انتهایی است و در آن علامت توسط علامت عبارت میانی مجذور سه جمله‌ای تعیین می‌شود.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

18 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

-4 بار 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

324 را به -324 اضافه کنید.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

2 بار 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{1}{9} را برای x_{1} و -\frac{1}{9} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{9} را به n اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{9} را به n اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{9n+1}{9} را در \frac{9n+1}{9} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

9 بار 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

بزرگترین عامل مشترک را از81 در 81 و 81 کم کنید.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

ارزیابی

$$\left(9n+1\right)^{2}$$