حل 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

عامل

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 81x^{2}+ax+bx+25 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 2025 است فهرست کنید.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

جواب زوجی است که مجموع آن 90 است.

$$a=45 b=45$$

81x^{2}+90x+25 را به‌عنوان \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right) بازنویسی کنید.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

در گروه اول از 9x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 9x+5 فاکتور بگیرید.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

مراحل استفاده از مربع دوجمله‌ای

این معادله سه جمله‌ای دارای یک شکل از مجذور سه جمله است که شاید در یک مضروب مشترک ضرب شده است. مجذورهای سه جمله‌ای را می‌توان با یافتن ریشه‌های دوم عبارت‌های اول و آخر، فاکتورگیری کرد.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

بزرگ‌ترین مضروب مشترک ضرايب را پیدا کنید.

$$gcf(81,90,25)=1$$

ریشه دوم جمله ابتدایی 81x^{2} را پیدا کنید.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

ریشه دوم جمله انتهایی 25 را پیدا کنید.

$$\sqrt{25}=5$$

مجذور سه جمله‌ای برابر با مجذور دو جمله‌ای است که مجموع یا تفاضل ریشه‌های دوم عبارت‌های ابتدایی و انتهایی است و در آن علامت توسط علامت عبارت میانی مجذور سه جمله‌ای تعیین می‌شود.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

90 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

-4 بار 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

-324 بار 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

8100 را به -8100 اضافه کنید.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

2 بار 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{5}{9} را برای x_{1} و -\frac{5}{9} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{9} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{9} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{9x+5}{9} را در \frac{9x+5}{9} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

9 بار 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

بزرگترین مضروب مشترک را از 81 در 81 و 81 کم کنید.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

ارزیابی

$$\left(9x+5\right)^{2}$$