حل 8x^2-56x-480=0

$$8 x ^ { 2 } - 56 x - 480 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-5$$

$$x=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$x^{2}-7x-60=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-60 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-12 b=5$$

x^{2}-7x-60 را به‌عنوان \left(x^{2}-12x\right)+\left(5x-60\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(5x-60\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-12\right)\left(x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و x+5=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-5$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$8x^{2}-56x-480=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 8 را با a، -56 را با b و -480 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 8\left(-480\right)}}{2\times 8}$$

-56 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 8\left(-480\right)}}{2\times 8}$$

-4 بار 8.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-32\left(-480\right)}}{2\times 8}$$

-32 بار -480.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+15360}}{2\times 8}$$

3136 را به 15360 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{18496}}{2\times 8}$$

ریشه دوم 18496 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±136}{2\times 8}$$

متضاد -56 عبارت است از 56.

$$x=\frac{56±136}{2\times 8}$$

2 بار 8.

$$x=\frac{56±136}{16}$$

اکنون معادله x=\frac{56±136}{16} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 56 را به 136 اضافه کنید.

$$x=\frac{192}{16}$$

192 را بر 16 تقسیم کنید.

$$x=12$$

اکنون معادله x=\frac{56±136}{16} وقتی که ± منفی است حل کنید. 136 را از 56 تفریق کنید.

$$x=-\frac{80}{16}$$

-80 را بر 16 تقسیم کنید.

$$x=-5$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=12 x=-5$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$8x^{2}-56x-480=0$$

480 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$8x^{2}-56x-480-\left(-480\right)=-\left(-480\right)$$

تفریق -480 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$8x^{2}-56x=-\left(-480\right)$$

-480 را از 0 تفریق کنید.

$$8x^{2}-56x=480$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$\frac{8x^{2}-56x}{8}=\frac{480}{8}$$

تقسیم بر 8، ضرب در 8 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{56}{8}\right)x=\frac{480}{8}$$

-56 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x^{2}-7x=\frac{480}{8}$$

480 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x^{2}-7x=60$$

-7، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{2} شود. سپس مجذور -\frac{7}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

-\frac{7}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

60 را به \frac{49}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

عامل x^{2}-7x+\frac{49}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

\frac{7}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=12 x=-5$$