حل 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 8x^{2}+ax+bx-7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -56 است فهرست کنید.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 10 است.

$$a=-4 b=14$$

8x^{2}+10x-7 را به‌عنوان \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-1=0 و 4x+7=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 8 را با a، 10 را با b و -7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

10 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-4 بار 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-32 بار -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

100 را به 224 اضافه کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

ریشه دوم 324 را به دست آورید.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

2 بار 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

اکنون معادله x=\frac{-10±18}{16} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -10 را به 18 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{16}$$

کسر \frac{8}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-10±18}{16} وقتی که ± منفی است حل کنید. 18 را از -10 تفریق کنید.

$$x=-\frac{28}{16}$$

کسر \frac{-28}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

7 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

تفریق -7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

-7 را از 0 تفریق کنید.

$$8x^{2}+10x=7$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

تقسیم بر 8، ضرب در 8 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

کسر \frac{10}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

\frac{5}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{8} شود. سپس مجذور \frac{5}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

\frac{5}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{7}{8} را به \frac{25}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

عامل x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

\frac{5}{8} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$