حل 8-26y+11y^2=0

$$8 - 26 y + 11 y ^ { 2 } = 0$$

برای y حل کنید

$$y=2$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 11y^{2}+ay+by+8 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-26 ab=11\times 8=88$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 88 است فهرست کنید.

$$-1,-88 -2,-44 -4,-22 -8,-11$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-88=-89 -2-44=-46 -4-22=-26 -8-11=-19$$

جواب زوجی است که مجموع آن -26 است.

$$a=-22 b=-4$$

11y^{2}-26y+8 را به‌عنوان \left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right) بازنویسی کنید.

$$\left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right)$$

در گروه اول از 11y و در گروه دوم از -4 فاکتور بگیرید.

$$11y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-2\right)\left(11y-4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-2=0 و 11y-4=0 را حل کنید.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 11 را با a، -26 را با b و 8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

-26 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

-4 بار 11.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-44\times 8}}{2\times 11}$$

-44 بار 8.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-352}}{2\times 11}$$

676 را به -352 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{324}}{2\times 11}$$

ریشه دوم 324 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±18}{2\times 11}$$

متضاد -26 عبارت است از 26.

$$y=\frac{26±18}{2\times 11}$$

2 بار 11.

$$y=\frac{26±18}{22}$$

اکنون معادله y=\frac{26±18}{22} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 26 را به 18 اضافه کنید.

$$y=\frac{44}{22}$$

44 را بر 22 تقسیم کنید.

$$y=2$$

اکنون معادله y=\frac{26±18}{22} وقتی که ± منفی است حل کنید. 18 را از 26 تفریق کنید.

$$y=\frac{8}{22}$$

کسر \frac{8}{22} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=\frac{4}{11}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

8 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$11y^{2}-26y+8-8=-8$$

تفریق 8 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$11y^{2}-26y=-8$$

هر دو طرف بر 11 تقسیم شوند.

$$\frac{11y^{2}-26y}{11}=-\frac{8}{11}$$

تقسیم بر 11، ضرب در 11 را لغو می‌کند.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y=-\frac{8}{11}$$

-\frac{26}{11}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{13}{11} شود. سپس مجذور -\frac{13}{11} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}=-\frac{8}{11}+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}$$

-\frac{13}{11} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=-\frac{8}{11}+\frac{169}{121}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{8}{11} را به \frac{169}{121} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=\frac{81}{121}$$

عامل y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}=\frac{81}{121}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{121}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{13}{11}=\frac{9}{11} y-\frac{13}{11}=-\frac{9}{11}$$

\frac{13}{11} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$