حل 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 15x^{2}+ax+bx-2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-3 b=10$$

15x^{2}+7x-2 را به‌عنوان \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x-1=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 75 را با a، 35 را با b و -10 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-4 بار 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-300 بار -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

1225 را به 3000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

ریشه دوم 4225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

2 بار 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

اکنون معادله x=\frac{-35±65}{150} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -35 را به 65 اضافه کنید.

$$x=\frac{30}{150}$$

کسر \frac{30}{150} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 30، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-35±65}{150} وقتی که ± منفی است حل کنید. 65 را از -35 تفریق کنید.

$$x=-\frac{100}{150}$$

کسر \frac{-100}{150} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 50، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

10 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

تفریق -10 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

-10 را از 0 تفریق کنید.

$$75x^{2}+35x=10$$

هر دو طرف بر 75 تقسیم شوند.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

تقسیم بر 75، ضرب در 75 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

کسر \frac{35}{75} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 5، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

کسر \frac{10}{75} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 5، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

\frac{7}{15}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{30} شود. سپس مجذور \frac{7}{30} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

\frac{7}{30} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{15} را به \frac{49}{900} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

\frac{7}{30} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$