حل 7x^2-36x+5=0

$$7 x ^ { 2 } - 36 x + 5 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 7x^{2}+ax+bx+5 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-36 ab=7\times 5=35$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 35 است فهرست کنید.

$$-1,-35 -5,-7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

جواب زوجی است که مجموع آن -36 است.

$$a=-35 b=-1$$

7x^{2}-36x+5 را به‌عنوان \left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right) بازنویسی کنید.

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right)$$

در گروه اول از 7x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$7x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(7x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و 7x-1=0 را حل کنید.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 7 را با a، -36 را با b و 5 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

-36 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

-4 بار 7.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-28\times 5}}{2\times 7}$$

-28 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-140}}{2\times 7}$$

1296 را به -140 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1156}}{2\times 7}$$

ریشه دوم 1156 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±34}{2\times 7}$$

متضاد -36 عبارت است از 36.

$$x=\frac{36±34}{2\times 7}$$

2 بار 7.

$$x=\frac{36±34}{14}$$

اکنون معادله x=\frac{36±34}{14} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 36 را به 34 اضافه کنید.

$$x=\frac{70}{14}$$

70 را بر 14 تقسیم کنید.

$$x=5$$

اکنون معادله x=\frac{36±34}{14} وقتی که ± منفی است حل کنید. 34 را از 36 تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{14}$$

کسر \frac{2}{14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

5 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$7x^{2}-36x+5-5=-5$$

تفریق 5 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$7x^{2}-36x=-5$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$\frac{7x^{2}-36x}{7}=-\frac{5}{7}$$

تقسیم بر 7، ضرب در 7 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x=-\frac{5}{7}$$

-\frac{36}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{18}{7} شود. سپس مجذور -\frac{18}{7} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}$$

-\frac{18}{7} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=-\frac{5}{7}+\frac{324}{49}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{5}{7} را به \frac{324}{49} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=\frac{289}{49}$$

عامل x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}=\frac{289}{49}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{49}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{18}{7}=\frac{17}{7} x-\frac{18}{7}=-\frac{17}{7}$$

\frac{18}{7} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$