حل 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 7x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -105 است فهرست کنید.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

جواب زوجی است که مجموع آن -32 است.

$$a=-35 b=3$$

7x^{2}-32x-15 را به‌عنوان \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

در گروه اول از 7x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و 7x+3=0 را حل کنید.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 7 را با a، -32 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-32 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-4 بار 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-28 بار -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

1024 را به 420 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

ریشه دوم 1444 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

متضاد -32 عبارت است از 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

2 بار 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

اکنون معادله x=\frac{32±38}{14} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 32 را به 38 اضافه کنید.

$$x=\frac{70}{14}$$

70 را بر 14 تقسیم کنید.

$$x=5$$

اکنون معادله x=\frac{32±38}{14} وقتی که ± منفی است حل کنید. 38 را از 32 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{14}$$

کسر \frac{-6}{14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$7x^{2}-32x=15$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

تقسیم بر 7، ضرب در 7 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

-\frac{32}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{16}{7} شود. سپس مجذور -\frac{16}{7} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

-\frac{16}{7} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{15}{7} را به \frac{256}{49} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

عامل x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

\frac{16}{7} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$