حل 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 7x^{2}+ax+bx-9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -63 است فهرست کنید.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -18 است.

$$a=-21 b=3$$

7x^{2}-18x-9 را به‌عنوان \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

در گروه اول از 7x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و 7x+3=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 7 را با a، -18 را با b و -9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

-18 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

-4 بار 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

-28 بار -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

324 را به 252 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

ریشه دوم 576 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

متضاد -18 عبارت است از 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

2 بار 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

اکنون معادله x=\frac{18±24}{14} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 18 را به 24 اضافه کنید.

$$x=\frac{42}{14}$$

42 را بر 14 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{18±24}{14} وقتی که ± منفی است حل کنید. 24 را از 18 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{14}$$

کسر \frac{-6}{14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

9 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

تفریق -9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

-9 را از 0 تفریق کنید.

$$7x^{2}-18x=9$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

تقسیم بر 7، ضرب در 7 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

-\frac{18}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{9}{7} شود. سپس مجذور -\frac{9}{7} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

-\frac{9}{7} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{9}{7} را به \frac{81}{49} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

عامل x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

\frac{9}{7} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$