حل 7n^2=-8+15n

$$7 n ^ { 2 } = - 8 + 15 n$$

برای n حل کنید

$$n=1$$

$$n = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

-8 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7n^{2}-\left(-8\right)=15n$$

متضاد -8 عبارت است از 8.

$$7n^{2}+8=15n$$

15n را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7n^{2}+8-15n=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$7n^{2}-15n+8=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 7n^{2}+an+bn+8 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-15 ab=7\times 8=56$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 56 است فهرست کنید.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

جواب زوجی است که مجموع آن -15 است.

$$a=-8 b=-7$$

7n^{2}-15n+8 را به‌عنوان \left(7n^{2}-8n\right)+\left(-7n+8\right) بازنویسی کنید.

$$\left(7n^{2}-8n\right)+\left(-7n+8\right)$$

در گروه اول از n و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$n\left(7n-8\right)-\left(7n-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 7n-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(7n-8\right)\left(n-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 7n-8=0 و n-1=0 را حل کنید.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

-8 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7n^{2}-\left(-8\right)=15n$$

متضاد -8 عبارت است از 8.

$$7n^{2}+8=15n$$

15n را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7n^{2}+8-15n=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$7n^{2}-15n+8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 7 را با a، -15 را با b و 8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

-15 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

-4 بار 7.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-28\times 8}}{2\times 7}$$

-28 بار 8.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-224}}{2\times 7}$$

225 را به -224 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{1}}{2\times 7}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±1}{2\times 7}$$

متضاد -15 عبارت است از 15.

$$n=\frac{15±1}{2\times 7}$$

2 بار 7.

$$n=\frac{15±1}{14}$$

اکنون معادله n=\frac{15±1}{14} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 15 را به 1 اضافه کنید.

$$n=\frac{16}{14}$$

کسر \frac{16}{14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=\frac{8}{7}$$

اکنون معادله n=\frac{15±1}{14} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از 15 تفریق کنید.

$$n=\frac{14}{14}$$

14 را بر 14 تقسیم کنید.

$$n=1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$

مراحل برای تکمیل مربع

15n را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7n^{2}-15n=-8$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$\frac{7n^{2}-15n}{7}=-\frac{8}{7}$$

تقسیم بر 7، ضرب در 7 را لغو می‌کند.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n=-\frac{8}{7}$$

-\frac{15}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{15}{14} شود. سپس مجذور -\frac{15}{14} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\left(-\frac{15}{14}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{15}{14}\right)^{2}$$

-\frac{15}{14} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}=-\frac{8}{7}+\frac{225}{196}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{8}{7} را به \frac{225}{196} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}=\frac{1}{196}$$

عامل n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{15}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{15}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{15}{14}=\frac{1}{14} n-\frac{15}{14}=-\frac{1}{14}$$

\frac{15}{14} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$