حل 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 64 را با a، 24\sqrt{5} را با b و 33 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

24\sqrt{5} را مجذور کنید.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

-4 بار 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

-256 بار 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

2880 را به -8448 اضافه کنید.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

ریشه دوم -5568 را به دست آورید.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

2 بار 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

اکنون معادله x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -24\sqrt{5} را به 8i\sqrt{87} اضافه کنید.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

-24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} را بر 128 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

اکنون معادله x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} وقتی که ± منفی است حل کنید. 8i\sqrt{87} را از -24\sqrt{5} تفریق کنید.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

-24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} را بر 128 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

33 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

تفریق 33 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

هر دو طرف بر 64 تقسیم شوند.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

تقسیم بر 64، ضرب در 64 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

24\sqrt{5} را بر 64 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

\frac{3\sqrt{5}}{8}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3\sqrt{5}}{16} شود. سپس مجذور \frac{3\sqrt{5}}{16} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

\frac{3\sqrt{5}}{16} را مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{33}{64} را به \frac{45}{256} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

عامل x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

\frac{3\sqrt{5}}{16} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$