حل 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

15 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x^{2}-x-15=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -90 است فهرست کنید.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-10 b=9$$

6x^{2}-x-15 را به‌عنوان \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-5=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-x=15$$

15 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

تفریق 15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-x-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -1 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

1 را به 360 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 361 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{1±19}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 19 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{12}$$

کسر \frac{20}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{5}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{1±19}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 19 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{12}$$

کسر \frac{-18}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-x=15$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

کسر \frac{15}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

-\frac{1}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{12} شود. سپس مجذور -\frac{1}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

-\frac{1}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{2} را به \frac{1}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

\frac{1}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$