حل 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-20 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -40 است فهرست کنید.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=-8 b=5$$

2x^{2}-3x-20 را به‌عنوان \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-4=0 و 2x+5=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -9 را با b و -60 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

81 را به 1440 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 1521 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

متضاد -9 عبارت است از 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{9±39}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 9 را به 39 اضافه کنید.

$$x=\frac{48}{12}$$

48 را بر 12 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{9±39}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 39 را از 9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{12}$$

کسر \frac{-30}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

60 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

تفریق -60 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

-60 را از 0 تفریق کنید.

$$6x^{2}-9x=60$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

کسر \frac{-9}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

60 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

-\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{4} شود. سپس مجذور -\frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

10 را به \frac{9}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{3}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$